[必做題]利用空間向量的方法解決下列問題：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，DC的中點．
（1）求AE與D1F所成的角；
（2）證明AE⊥面A1D1F．
分析：解法一（1）利用向量的數(shù)量積求出
AE
•
D1F
=0，即可求出AE與D1F所成的角是90°；
（2）通過（1）
AE
⊥
D1F
，以及證明AE⊥A1D1，又D1F∩A1D1=D1，即可得到結(jié)論．
解法二（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出AE與D1F的向量，通過數(shù)量積求出它們的夾角．
（2）通過數(shù)量積為0，說明
AE
⊥
D1F
，AE⊥A1D1，又D1F∩A1D1=D1，得到結(jié)論．
解答：解：法一（1）設正方體的棱長為1，
AE
•
D1F
=(
AB
+
BE
)•(
D1D
+
DF
)=
AB
•
D1D
+
AB
•
DF
+
BE
•
D1D
+
BF
•
DF
=
AB
•
DF
+
BE
•
D1D
=
1
2
AB2
-
1
2
D1D
2=0
所以
AE
⊥
D1F
，即AE與D1F所成的角為90°  …（5分）
（2）由（1）
AE
⊥
D1F
，又
AE
•
A1D1
=(
AB
+
BE
)•A1D1=
AB
•
A1D1
+
BE
•
A1D1
=0，
所以AE⊥A1D1，又D1F∩A1D1=D1，
所以AE⊥平面A1D1F．…（10分）
法二（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，

設正方體的棱長為1，則A（1，0，0），
E（1，1，
1
2
），F(xiàn)（0，
1
2
，0），
D1（0，0，1）D（0，0，0）
所以
AE
=(0，1，
1
2
)，
D1F
=(0，
1
2
，-1)．
可得
AE
•
D1F
=(0，1，
1
2
)•(0，
1
2
，-1)=0，
故
AE
⊥
D1F
即AE與D1F所成的角為90°
（2）
DA
=(1，0，0)=
D1A1
，且
D
 
1
A1
•
AE
=(1，0，0)•(0，1，
1
2
)=0
所以AE⊥A1D1，
又D1F∩A1D1=D1，
故AE⊥平面A1D1F．…（10分）
點評：本題是立體幾何證明直線與平面的垂直，直線與直線所成的角的求法，考查計算能力，空間想象能力．
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