Question

已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²-2sin²x．
（I）若將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移a（a＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象恰好關(guān)于點(diǎn)(

π

4

，0)對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（II）若函數(shù)y=f(x)在[

b

4

π，

3b

8

π](b∈N*)上為減函數(shù)，試求實(shí)數(shù)b的值．

Answer 1

分析：（I）由題意可得：f（x）=

2

sin(2x+

π

4

），平移a個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)f（x）=

2

sin(2x+2a+

π

4

)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得2×

π

4

+2a+

π

4

=kπ，即可得到a=-

3π

8

+

kπ

2

進(jìn)而得到答案．
（II）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得：y=

2

sin(2x+

π

4

)的遞減區(qū)間為：[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，結(jié)合題意可得kπ+

π

8

≤

b

4

π≤

3b

8

π≤kπ+

5π

8

，即

1

2

+4k≤

5

3

+

8

3

k，解得k≤

7

8

，進(jìn)而求出b的數(shù)值．

解答：解：（I）由題意可得：f（x）=

2

sin(2x+

π

4

），
將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移a（a＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)f（x）=

2

sin(2(x+a)+

π

4

)=

2

sin(2x+2a+

π

4

）的圖象
∵函數(shù)y=

2

sin(2x+2a+

π

4

)關(guān)于點(diǎn)(

π

4

，0）對(duì)稱(chēng)，
所以2×

π

4

+2a+

π

4

=kπ（k∈Z），即a=-

3π

8

+

kπ

2

，（k∈Z）
因?yàn)閍＞0，所以k＞

3

4

，
所以當(dāng)k=1時(shí)，a有最小值

π

8

．
（II）∵y=

2

sin(2x+

π

4

)在[

b

4

π，

3b

8

π](b∈N*）上為減函數(shù)，并且y=

2

sin(2x+

π

4

)的遞減區(qū)間為：[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z，
∴kπ+

π

8

≤

b

4

π≤

3b

8

π≤kπ+

5π

8

∴

1

2

+4k≤b≤

5

3

+

8

3

k
由

1

2

+4k≤

5

3

+

8

3

k得k≤

7

8

，
∵k∈Z∴k=0，
∴

1

2

≤b≤

5

3

，
又因?yàn)閎∈N^*，
所以b=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，即對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性以及三角函數(shù)圖象的平移變換．