Question

如圖已知，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過F₁的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若∠AF₁F₂=60°，且

AF1

•

AF2

=0，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若a=

2

，b=1，求

F1A

•

F1B

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)樵诮裹c(diǎn)三角形AF₁F₂中，

AF1

•

AF2

=0，所以∠F₁AF₂=90°，又因?yàn)椤螦F₁F₂=60°，所以△AF1F2的三邊關(guān)系可以找到，根據(jù)三邊關(guān)系，可求出含a，c的齊次式，進(jìn)而求出離心率．
（II）若a=

2

，b=1，則橢圓方程為兩個(gè)，可以是焦點(diǎn)在x軸上，也可焦點(diǎn)在y軸上，分別寫出方程，在與設(shè)出的直線l方程聯(lián)立，找到橫坐標(biāo)之和與之積，用坐標(biāo)表示

F1A

•

F1B

，根據(jù)前面所求，得到含k的方程，再求出最值即可．

解答：解：（I）∵

AF1

•

AF2

=0，∴AF₁⊥AF₂∵∠AF₁F₂=60°，∴F₁F₂=2AF₁，AF2=

3

AF1------（3分）
∴2a=AF₁+AF₂，2c=F₁F₂∴離心率e=

c

a

=

F1F2

AF1+AF2

=

3

-1------（6分）
（II）∵a=

2

，b=1，∴c=1，點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
①若AB垂直于x軸，則A(-1，

2

2

)，B(-1，-

2

2

)，

F1A

•

F1B

=(0，

2

2

)•(0，-

2

2

)=-

1

2

------（8分）
②若AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的斜率為k，
則直線AB的方程為 y=k（x+1）
由

y=k(x+1) x2+2y2-2=0

消去y得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0∵△=8k²+8＞0，∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．∴x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x1•x2=

2k2-2

2k2+1

------（10分）
∴

F1A

=(x1+1，y1)，

F1B

=(x2+1，y2)

F1A

•

F1B

=(x1+1)(x2+1)+y1y2=(x1+1)(x2+1)+k2(x1+1)(x2+1)=（1+k²）（x₁x₂+x₁+x₂+1）=(1+k2)(

2k2-2

2k2+1

-

4k2

2k2+1

+1)=-

k2+1

2k2+1

=-

1

2

-

1

2(2k2+1)

-------（12分）
∵k2≥0，2k2+1≥1，   0＜

1

2k2+1

≤1，∴-1≤-

1

2

-

1

2(2k2+1)

＜-

1

2

∴

F1A

•

F1B

∈[-1，-

1

2

)------（14分）
綜合①、②可得：

F1A

•

F1B

∈[-1，-

1

2

]．
所以當(dāng)直線l垂直于x時(shí)，

F1A

•

F1B

取得最大值-

1

2

；當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，

F1A

•

F1B

取得最小值-1------（15分）

點(diǎn)評：本題考查了利用焦點(diǎn)三角形三邊關(guān)系求橢圓方程，以及橢圓與向量相結(jié)合求最值，注意解題過程中，設(shè)而不求思想的應(yīng)用．