Question

已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=2elnx（x＞0）（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)x＞0時(shí)，求證：f′（x）+g′（x）≥4

e

；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）的單調(diào)區(qū)間及最小值；
（3）試探究是否存在一次函數(shù)y=kx+b（k，b∈R），使得f（x）≥kx+b且g（x）≤kx+b對(duì)一切x＞0恒成立，若存在，求出該一次函數(shù)的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）與g（x）的導(dǎo)數(shù)，利用均值不等式可得；
（2）先求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)F′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，F(xiàn)′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，求出極值；
（3）f（x）與g（x）的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)（

e

，e），故可猜想：一次函數(shù)的圖象就是f（x）與g（x）的圖象在點(diǎn)
（

e

，e）處的公切線，然后進(jìn)行驗(yàn)證．

解答：解：（1）∵x＞0，f′（x）=2x，g′（x）=

2e

x

，
∴f′（x）+g′（x）=2（x+

e

x

）≥2×2

e

=4

e

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

e

x

，即x=

e

時(shí)，等號(hào)成立．
∴f′（x）+g′（x）≥4

e

；（4分）
（2）F′（x）=f′（x）-g′（x）
=2（x-

e

x

）=

2(x2-e)

x

（x＞0），
令F′（x）=0，得x=

e

（x=-

e

舍），
∴當(dāng)0＜x＜

e

時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）
在（0，

e

）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞

e

時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）
在（

e

+∞）上單調(diào)遞增．（8分）
∴當(dāng)x=

e

時(shí)，F(xiàn)（x）有極小值，也是最小值，
即F（x）_min=F（

e

）=e-2eln

e

=0．
∴F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（

e

，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

e

），
最小值為0；（10分）
（3）由（2）知，f（x）與g（x）
的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)（

e

，e），
∴猜想：一次函數(shù)的圖象就是f（x）與g（x）
的圖象在點(diǎn)（

e

，e）處的公切線，
其方程為y=2

e

x-e．（12分）
下面證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≥2

e

x-e，
且g（x）≤2

e

x-e恒成立．
又∵f（x）-（2

e

x-e）=（x-

e

）²≥0，
∴f（x）≥2

e

x-e對(duì)x＞0恒成立．
又令G（x）=2

e

x-e-g（x）=2

e

x-e-2elnx，
∴G′（x）=2

e

-

2e

x

=

2 e (x- e )

x

，∴當(dāng)0＜x＜

e

時(shí)，
G′（x）＜0，G（x）在（0，

e

）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞

e

時(shí)，G′（x）＞0，
G（x）在（

e

，+∞）上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=

e

時(shí)，G（x）有極小值，也是最小值，
即G（x）_min=G（

e

）=2e-e-2eln

e

=0，
∴G（x）≥0，即g（x）≤2

e

x-e恒成立．
故存在一次函數(shù)y=2

e

x-e，使得當(dāng)x＞0時(shí)，
f（x）≥2

e

x-e，且g（x）≤2

e

x-e恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)、均值不等式、利用導(dǎo)數(shù)等知識(shí)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的思想方法和運(yùn)算求解的能力．題干背景新，綜合性強(qiáng)，是一道好壓軸題．