Question

對一切實(shí)數(shù)x，所有的二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＜b）的值均為非負(fù)實(shí)數(shù)，則

b-a

a+b+c

的最大值是

1

3

．

Answer 1

分析：設(shè)b-a=k，則b=a+k，依題意有b＞a＞0，b²≤4ac，即（a+k）²≤4ac，即c≥

(a+k) 2

4a

．
根據(jù)

b-a

a+b+c

=

k

2a+k+c

≤

k

2a+k+ (a+k) 2 4a

，再利用基本不等式求出它的最大值．

解答：解：設(shè)b-a=k，則b=a+k，依題意有b＞a＞0，b²≤4ac，即（a+k）²≤4ac，即c≥

(a+k) 2

4a

．
故

b-a

a+b+c

=

k

2a+k+c

≤

k

2a+k+ (a+k) 2 4a

=

k

9a 4 + 3k 2 + k 2 4a

=

1

k 4a + 9a 4k + 3 2

≤

1

2 k 4a • 9a 4k + 3 2

=

1

2× 3 4 + 3 2

=

1

3

．
當(dāng)且僅當(dāng)

k 4a = 9a 4k c= (a+k)2 4a

，即b=c=4a時取等號．
故答案為：

1

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，注意檢驗等號成立的條件，以及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，
屬于中檔題．