Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-

ln(1+x)

1+x

（1）令N（x）=（1+x）²-1+ln（1+x），判斷并證明N（x）在（-1，+∞）上的單調(diào)性，并求N（0）；
（2）求f（x）在定義域上的最小值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，n滿足0≤m＜n，使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域也為[m，n]？
（參考公式：[ln（1+x）′]=

1

1+x

）

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)在x＞-1時(shí)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，代入求N（0）的值，
（2）直接求定義域，利用f（x）單調(diào)性求解函數(shù)f（x）的最小值、值域，
（3）假設(shè)存在符合條件的m，n則有

f(m)=m f(n)=n

，推導(dǎo)可判斷m，n是否存在．

解答：解：（1）當(dāng)x＞-1時(shí)，N^′（x）=2x+2+

1

1+x

＞0（2分）
所以，N（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)遞增，N（0）=0（4分）
（2）f（x）的定義域是（-1，+∞）
f′(x)=1-

1-ln(x+1)

(1+x)2

=

N(x)

(1+x)2

當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，N（x）＜0，所以，f^′（x）＜0，
當(dāng)x＞0時(shí)，N（x）＞0，所以，f^′（x）＞0，（8分）
所以，在（-1，0）上f（x）單調(diào)遞減，在（0，+∞）上，f（x）單調(diào)遞增，
所以，f_min=f（0）=0（10分）
（3）由（2）知f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
若存在m，n滿足條件，則必有f（m）=m，f（n）=n，（11分）
也即方程f（x）=x在[0，+∞）上有兩個(gè)不等的實(shí)根m，n，
但方程f（x）=x，即

ln(x+1)

(x+1)

=0只有一個(gè)實(shí)根x=0，
所以，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)m，n．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的最值問題，要注意分類討論思想在解題中的運(yùn)用．