Question

如圖所示，已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，點E分有向線段AC所成的比為λ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點．當時，求雙曲線的離心率e的取值范圍．

Answer 1

答案：略
解析：

解：如圖所示，以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標系xOy，則CD⊥y軸． 因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于y軸對稱．依題意，記A(－c，0)，， 設，其中為雙曲線的半焦距，h是梯形的高． 由定比分點坐標公式得 設雙曲線的方程為，則． 由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和代入雙曲線方程得 ，　　　　　　　　　　　　　　�、� ．　　　　　　　　② 由①式得．　　　　　　　　　　�、� 將③式代入②式，整理得 ， 故． 由題設，得 ． 解得． 所以雙曲線的離心率e的取值范圍是．

提示：

分析：這是一道解析幾何與代數(shù)知識的綜合題，實質上是利用已知條件求得λ與雙曲線離心率e之間的關系，然后根據(jù)λ的取值，求出e的取值范圍．