Question

在銳角△ABC中，A＞B，則有下列不等式：①sinA＞sinB；②cosA＜cosB；③sin2A＞sin2B；④cos2A＜cos2B（ ）
A．①③
B．②③
C．①②③
D．①②④

Answer 1

【答案】分析：①利用正弦定理，sinA＞sinB 等價(jià)于 a＞b． ②由cosA＜cosB，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得sinA＞sinB，
③由sin2A＞sin2B，不能推出a＞b，舉反例說明．  ④由cos2A＜cos2B，可得sinA＞sinB，故等價(jià)于 a＞b
解答：解：由①，A＞B，則a＞b，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB．故①對(duì)
由②，A＞B等價(jià)于a＞b，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB，因?yàn)殇J角△ABC中，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得cosA＜cosB，故②對(duì)
 對(duì)于③，例如A=60°，B=45°，滿足A＞B，但不滿足sin2A＞sin2B，所以③不對(duì)；
對(duì)于④，因?yàn)樵阡J角△ABC中，A＞B，所以a＞b，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB，所以
利用二倍角公式即 1-2sin²A＜1-2sin²B，∴cos2A＜cos2B，故④對(duì)．
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦定理，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角形中有大角對(duì)大邊，將命題轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．