Question

已知二次函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)1，2，且在y軸上的截距為3．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，可知1，2為f（x）=0的兩個(gè)根，設(shè)出f（x）的解析式，再根據(jù)在y軸上的截距為3，列出方程，求解即可得到函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)離對(duì)稱軸遠(yuǎn)的遠(yuǎn)近，即可確定函數(shù)的最值，從而得到函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵二次函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)1，2，
∴1，2為f（x）=0的兩個(gè)根，
設(shè)f（x）=a（x-1）（x-2），
∵f（x）的圖象在y軸上的截距為3，
∴f（0）=a•2=3，
∴a=

3

2

，
∴f（x）=

3

2

（x-1）（x-2）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=

3

2

（x²-3x+2），
對(duì)稱軸為x=

3

2

，
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，f（x）_max=-

3

8

，
當(dāng)x=0或3時(shí) f（x）_max=3，
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域?yàn)閇-

3

8

，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的解析式，求函數(shù)解析式常見的方法有：待定系數(shù)法，換元法，湊配法，消元法等，考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于二次函數(shù)要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，注意抓住二次函數(shù)的開口方向，對(duì)稱軸，以及判別式的考慮．屬于中檔題．