Question

已知f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=

2x-1

2x+1

．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）當(dāng)m取何值時(shí)，方程f（x）=m在（0，1）上有解．

Answer 1

分析：（I）利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可得出．
（II）變形利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，反比例函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，-x∈（0，1），
由f（x）為R上的奇函數(shù)，得f（x）=-f（-x）=-

2-x-1

2-x+1

=-

1-2x

2x+1

=

2x-1

2x+1

，
∴f（x）=

2x-1

2x+1

，x∈（-1，0）．
又有奇函數(shù)得f（0）=0．
F（x）=

2x-1

2x+1

，x∈（-1，1）．
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，1），m=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，2^x∈（1，2），1-

2

2x+1

∈(0，

1

3

)，即m∈(0，

1

3

)．
∴當(dāng)m∈(0，

1

3

)時(shí)，方程f（x）=m在（0，1）上有解．

點(diǎn)評：熟練掌握奇函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、反比例函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．