Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是PD，PC上的點(diǎn)，且EF∥平面ABCD．
（1）求證：EF∥平面PAB；
（2）若三棱錐F-BCD與四棱錐P-ABCD的體積比為λ（0＜λ＜$\frac{1}{2}$），點(diǎn)G是線段BC上的一點(diǎn)，且平面EFG∥平面PAB，求$\frac{BG}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及線面平行的性質(zhì)可證EF∥CD，結(jié)合CD∥AB，可證EF∥AB，進(jìn)而判定EF∥平面PAB．
（2）設(shè)三棱錐F-BCD的高為h₁，體積為V₁，四棱錐P-ABCD的高為h，體積為V，利用三棱錐體積公式，三角形面積公式可求$\frac{CF}{PC}=2λ$，利用面面平行的性質(zhì)可證FG∥PB，利用平行線分線段成比例的性質(zhì)可求$\frac{CG}{BC}=\frac{CF}{PC}=2λ$，進(jìn)而得解$\frac{BG}{BC}$的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵EF∥平面ABCD，平面ABCD∩平面EFCD=CD，
∴EF∥CD，…2分
又四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，
∴EF∥AB，…..5分
∵AB?平面PAB，EF?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．…..6分
（2）設(shè)三棱錐F-BCD的高為h₁，體積為V₁，四棱錐P-ABCD的高為h，體積為V，
則$\frac{V_1}{V}=\frac{{\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•{h_1}}}{{\frac{1}{3}{S_{△ABCD}}•h}}=\frac{1}{2}•\frac{h_1}{h}=\frac{1}{2}\frac{CF}{PC}=λ$．
∴$\frac{CF}{PC}=2λ$．…8分
∵平面EFG∥平面PAB，平面EFG∩平面PBC=FG，平面PAB∩平面PBC=PB，
∴FG∥PB，…..10分
∴$\frac{CG}{BC}=\frac{CF}{PC}=2λ$，
∴$\frac{BG}{BC}=1-2λ$．…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線面平行的性質(zhì)和判定，三棱錐體積公式，三角形面積公式，面面平行的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．