Question

（2009•楊浦區(qū)一模）（理）已知函數(shù)f(x)=2sinωxcosωx-2

3

cos2ωx+1+

3

(x∈R，ω＞0）的最小正周期是π．
（1）求ω的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求三角函數(shù)的周期要先對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由公式T=

2π

ω

建立方程求出參數(shù)的值；
（2）由（1）f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)，令其相位滿(mǎn)足2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解出x的取值范圍，即可得到所求的單調(diào)增區(qū)間；
（3）先解出函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

4

，

π

2

]上的最值，由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化出關(guān)于m的不等式，解出其范圍即可

解答：解：（理）（1）f(x)=-2

3

(

1+cos2ωx

2

)+sin2ωx+1+

3

----（2分）
=sin2ωx-

3

cos2ωx+1=2sin(2ωx-

π

3

)+1-------（3分）
由題設(shè)可得，

2π

2ω

=π，所以ω=1．---------------------------（4分）
（2）由（1）得 f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)，由題意
則有 2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z）------------（7分）
即  kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

（k∈Z）
故 單調(diào)增區(qū)間為[ ，（k∈Z）----（10分）
（3）∵f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)．又∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，------------------------------------------（11分）
即2≤1+2sin(2x-

π

3

)≤3，----------------------------------（13分）
∴f（x）_max=3，f（x）_min=2．∵|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2，x∈[

π

4

，

π

2

]，---------------------（14分）
∴m＞f（x）_max-2，m＜f（x）_min+2，∴1＜m＜4，
即m的取值范圍是（1，4）．---------------------------------------（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題以三角函數(shù)為背景考查函數(shù)恒成立的問(wèn)題，函數(shù)恒成立的問(wèn)題是函數(shù)中一類(lèi)難度較高的題型，解答此類(lèi)題關(guān)鍵是對(duì)問(wèn)題正確轉(zhuǎn)化，此類(lèi)題一般是求參數(shù)范圍的題，將恒成立的關(guān)系轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿(mǎn)足的不等式或方程是常規(guī)思路，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，方程的思想，變形的能力，推理論證的能力，綜合性較強(qiáng)