已知定義在R上的奇函數(shù)　f(x)有最小正周期2，且當x∈(0,1)時，　f(x)＝.

(1)  求　f(x)在[－1,1]上的解析式；

(2)  證明：　f(x)在(0,1)上是減函數(shù)．

 

【答案】

(1)解：只需求出　f(x)在x∈(－1,0)和x＝±1，x＝0時的解析式即可，因此，要注意應(yīng)用奇偶性和周期性，當x∈(－1,0)時，－x∈(0,1)．

∵　f(x)是奇函數(shù)，∴　f(x)＝－f(－x)＝－＝－，

由f(0)＝f(－0)＝－f(0)，且f(1)＝f(－2＋1) ＝f(－1)＝－f(1)，

得f(0)＝f(1)＝f(－1)＝0.

∴在區(qū)間[－1,1]上有

(2)證明：當x∈(0,1)時，　f(x)＝.

設(shè)0<x1<x2<1，f(x1)－f(x2)＝－＝.

∵0<x1<x2<1，∴2x2－2x1>0,2x1＋x2－1>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

故　f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的單調(diào)遞增奇函數(shù)以f（x），若當0≤θ≤
π2
時，f（cosθ+msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）．當x＜0時，f（x）=x2+2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）問：是否存在實數(shù)a，b（a≠b），使f（x）在x∈[a，b]時，函數(shù)值的集合為[
1
b
，
1
a
]？若存在，求出a，b；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：大連二十三中學(xué)2011學(xué)年度高二年級期末測試試卷數(shù)學(xué)（理） 題型：選擇題

已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間[0,2]上是增函

數(shù),則(     ).     

A.            B.

C.            D.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆浙江省高二下學(xué)期期末考試理科數(shù)學(xué)試卷 題型：選擇題

已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間[0,1]上是增函

數(shù),若方程在區(qū)間上有四個不同的根,則

（     ）

（A）     （B）      （C）      （D）

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知定義在R上的單調(diào)遞增奇函數(shù)以f（x），若當0≤θ≤數(shù)學(xué)公式時，f（cosθ+msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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