Question

已知數(shù)列{a_n}滿足條件（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）且a₁=1，a₂=6，設(shè)b_n=a_n+n，求{b_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：計(jì)算前幾項(xiàng)，猜想數(shù)列的通項(xiàng)，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；

解答：解：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，且a₂=6
當(dāng)n=2時(shí)，a₃=3（a₂-1）=15，
當(dāng)n=3時(shí)，2a₄=4（a₃-1），∴a₄=28，
猜測(cè)an=2n2-n，b_n=2n²．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
ⅰ當(dāng)n=1時(shí)，等式b₁=a₁+1=2，b₁=2，成立，
ⅱ假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，bk=2k2
則由（k-1）a_k+1=（k+1）（a_k-1），
有ak+1=

k+1

k-1

（k-1）（2k+1）=2k²+3k+1=2（k+1）²-（k+1），
bk+1=2(k+1)2-(k+1)+(k+1)=2（k+1）²
即n=k+1時(shí)，等式也成立
綜上，b_n=2n²．對(duì)一切大于0的自然數(shù)都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．