Question

16．已知定義在[-1，1]的函數(shù)滿足f（-x）=-f（x），當(dāng)a，b∈[-1，0）時，總有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），則實數(shù)m的取值范圍是$-\frac{1}{2}≤m≤0$．

Answer 1

分析 先根據(jù)條件得到函數(shù)的奇偶性，再結(jié)合條件求出函數(shù)在[-1，1]上的單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性建立關(guān)系式求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
又∵當(dāng)a，b∈[-1，0）時，總有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0，
∴函數(shù)f（x）在[-1，0）上單調(diào)遞增函數(shù)
根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增函數(shù)
∵f（m+1）＞f（2m），
∴-1≤2m＜m+1≤1，
∴$-\frac{1}{2}≤m≤0$．
故答案為$-\frac{1}{2}≤m≤0$．

點評 本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題．