如圖，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長AB=2，側(cè)棱BB1的長為4，過點B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點E，交B1C于點F．
（Ⅰ）求證：A1C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A1B與平面BDE所成的角的正弦值．
（ I）如圖，以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸，
建立空間直角坐標系D-xyz如圖所示，可得
D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）…（2分）
設(shè)E（0，2，t），則
BE
=(-2，0，t)，
B1C
=(-2，0，-4)．
∵BE⊥B1C，
∴可得
BE
•
B1C
=4+0-4t=0．解之得t=1，
∴E（0，2，1），且
BE
=(-2，0，1)．
又∵
A1C
=(-2，2，-4)，
DB
=(2，2，0)，…（4分）
∴
A1C
•
BE
=4+0-4=0
且
A1C
•
DB
=-4+4+0=0…（6分）
∴
A1C
⊥
DB
且
A1C
⊥
BE
．
∵BD、BE是平面BDE內(nèi)的相交直線．
∴
A1C
⊥平面BDE…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）所建的坐標系，得
A1C
=(-2，2，-4)是平面BDE的一個法向量，
又∵
A1B
=(0，2，-4)，
∴cos＜
A1C
，
A1B
＞=
A1C
•
A1B
|
A1C
||
A1B
|
=
30
6
，
因此，可得A1B與平面BDE所成角的正弦值為
30
6
…（12分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四面體ABCD中，O．E分別為BD．BC的中點，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=
2
．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（理）如圖，單位正方體ABCD-A1B1C1D1，E，F(xiàn)分別是棱C1D1和B1C1的中點，試求：
（Ⅰ）AF與平面BEB1所成角的余弦值；
（Ⅱ）點A到面BEB1的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知正△ABC的頂點A在平面α上，頂點B、C在平面α的同一側(cè)，D為BC的中點，若△ABC在平面α上的投影是以A為直角頂點的三角形，則直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示的四棱錐，SD垂直于正方形ABCD所在的底面，AB=1，SB=
3
．
（1）求證：BC⊥SC；
（2）求SB與底面ABCD所成角的正切值；
（3）設(shè)棱SA的中點為M，求異面直線DM與SC所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，則AC1與平面BB1C1C所成的角的正弦值為（　�。�
A．
2
2
B．
15
5
C．
6
4
D．
6
3

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長都等于1，A1在底面ABC上的射影D為BC的中點，則側(cè)棱AA1與底面ABC所成角的大小為______，此三棱柱的體積為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知正方體ABCD-A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點．求證：
（1）C1O∥面A1B1D1；
（2）A1C⊥面AB1D1；
（3）求直線AC與平面AB1D1所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2
2
，M為BC的中點．
（1）證明：AM⊥PM；
（2）求二面角P-AM-D的大小．

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