Question

已知橢圓C：的離心率為，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓C的左、右焦點，若橢圓C的焦距為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M為橢圓上任意一點，以M為圓心，MF₁為半徑作圓M，當(dāng)圓M與橢圓的右準(zhǔn)線l有公共點時，求△MF₁F₂面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)焦距為2求出c的值，再由離心率為可求出a的值，進(jìn)而得到b的值寫出橢圓方程．
（2）先設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y）根據(jù)題意滿足，再表示出直線l的方程，因為圓M與l有公共點可得到M到l的距離4-x小于或等于圓的半徑R，整理可得到關(guān)系y²+10x-15≥0，再由則消去y，求出x的取值范圍，再表示出△MF₁F₂面積即可求出最大值．
解答：解：（1）因為2c=2，且，所以c=1，a=2．
所以b²=3．
所以橢圓C的方程為．
（2）設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），
則．
因為F₁（-1，0），，
所以直線l的方程為x=4．
由于圓M與l有公共點，
所以M到l的距離4-x小于或等于圓的半徑R．
因為R²=MF₁²=（x+1）²+y²，
所以（4-x）²≤（x+1）²+y²，
即y²+10x-15≥0．
又因為，
所以．
解得．又，∴
當(dāng)時，，
所以．
點評：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的綜合題．直線和圓錐曲線的綜合題是高考的重點，每年必考，經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)，要想答對此題必須熟練掌握其基礎(chǔ)知識，對各種題型多加練習(xí)．