Question

已知a＞0，函數(shù)．
（I）記f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為g（a），求g（a）的表達式；
（II）是否存在a使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，4）內的圖象上存在兩點，在該兩點處的切線互相垂直？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用絕對值的幾何意義，分類討論，結合導數(shù)確定函數(shù)的單調性，從而可得g（a）的表達式；
（II）利用曲線y=f（x）在兩點處的切線互相垂直，建立方程，從而可轉化為集合的運算，即可求得結論．
解答：解：（I）當0≤x≤a時，；當x＞a時，
∴當0≤x≤a時，，f（x）在（0，a）上單調遞減；
當x＞a時，，f（x）在（a，+∞）上單調遞增．
①若a≥4，則f（x）在（0，4）上單調遞減，g（a）=f（0）=
②若0＜a＜4，則f（x）在（0，a）上單調遞減，在（a，4）上單調遞增
∴g（a）=max{f（0），f（4）}
∵f（0）-f（4）==
∴當0＜a≤1時，g（a）=f（4）=；當1＜a＜4時，g（a）=f（0）=，
綜上所述，g（a）=；
（II）由（I）知，當a≥4時，f（x）在（0，4）上單調遞減，故不滿足要求；
當0＜a＜4時，f（x）在（0，a）上單調遞減，在（a，4）上單調遞增，若存在x₁，x₂∈（0，4）（x₁＜x₂），使曲線y=f（x）在
兩點處的切線互相垂直，則x₁∈（0，a），x₂∈（a，4），且f′（x₁）f′（x₂）=-1
∴•=-1
∴①
∵x₁∈（0，a），x₂∈（a，4），
∴x₁+2a∈（2a，3a），∈（，1）
∴①成立等價于A=（2a，3a）與B=（，1）的交集非空
∵，∴當且僅當0＜2a＜1，即時，A∩B≠∅
綜上所述，存在a使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，4）內的圖象上存在兩點，在該兩點處的切線互相垂直，且a的取值范圍是（0，）．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，正確分類是關鍵．