Question

在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，若向量 

m

=(cosA，sinA)，向量

n

=(cosC，-sinC)，且

m

•

n

=-

1

2

．
（Ⅰ）求sinA的最大值及對(duì)應(yīng)的A的值；
（Ⅱ）若a=2，b=

7

，求c的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過向量的數(shù)量積，兩角和的余弦函數(shù)化簡(jiǎn)表達(dá)式，求出B的值，推出A的范圍，即可sinA的最大值及對(duì)應(yīng)的A的值；
（Ⅱ）直接利用余弦定理求出三角形的邊c的長(zhǎng)．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

•

n

=（cosA，sinA）•（cosC，-sinC）
=cosAcosC-sinAsinC
=cos（A+C）
=-cosB=-

1

2

，
cosB=

1

2

，
因?yàn)樵凇鰽BC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊
∴B=

π

3

，∴0＜A＜

2π

3

，
所以A=

π

2

時(shí)，sinA取得最大值為1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知cosB=

1

2

，因?yàn)?span id="7sbgpux" class="MathJye">a=2，b=

7

，
所以由余弦定理可知b²=a²+c²-2accosB，
即：7=4+c²-2c，c²-2c-3=0，解得c=3，
所求c的長(zhǎng)為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，余弦定理，兩角和與差的三角函數(shù)，考查計(jì)算能力．