Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°，E、F分別是BA、BC的中點，G是AA₁上一點，且AC₁⊥EG．
（Ⅰ）確定點G的位置；
（Ⅱ）求直線AC₁與平面EFG所成角θ的大�。�

Answer 1

解法一：（Ⅰ）以C為原點，分別以CB、CA、CC₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C₁（0，0，2），
設G（0，2，h），則．∵AC₁⊥EG，∴．
∴-1×0+1×（-2）+2h=0．∴h=1，即G是AA₁的中點．
（Ⅱ）設是平面EFG的法向量，則．
所以平面EFG的一個法向量m=（1，0，1）
∵，
∴，即AC₁與平面EFG所成角θ為
解法二：（Ⅰ）取AC的中點D，連接DE、DG，則ED∥BC
∵BC⊥AC，∴ED⊥AC．
又CC₁⊥平面ABC，而ED?平面ABC，∴CC₁⊥ED．
∵CC₁∩AC=C，∴ED⊥平面A₁ACC₁．
又∵AC₁⊥EG，∴AC₁⊥DG．
連接A₁C，∵AC₁⊥A₁C，∴A₁C∥DG．
∵D是AC的中點，∴G是AA1的中點．
（Ⅱ）取CC₁的中點M，連接GM、FM，則EF∥GM，
∴E、F、M、G共面．作C₁H⊥FM，交FM的延長線于H，∵AC⊥平面BB₁C₁C，
C₁H?平面BB₁C₁C，∴AC⊥G₁H，又AC∥GM，∴GM⊥C₁H．∵GM∩FM=M，
∴C₁H⊥平面EFG，設AC₁與MG相交于N點，所以∠C₁NH為直線AC₁與平面EFG所成角θ．
因為，∴，∴．
分析：解法一：（Ⅰ）以C為原點，分別以CB、CA、CC₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，寫出有關點的坐標，利用向量數(shù)量積為零即可求得結果；
（Ⅱ）求出平面EFG的法向量的一個法向量，利用直線的方向向量與法向量的夾角與直線與平面所成角之間的關系即可求得結果；
解法二：（Ⅰ）取AC的中點D，連接DE、DG，則ED∥BC，利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可求得結果；（Ⅱ）取CC₁的中點M，連接GM、FM，則EF∥GM，找出直線與平面所成的角，解三角形即可求得結果．
點評：本小題主要考查直線與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定和直線與平面所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．屬中檔題．