Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=x，a₂=3x，S_n+1+S_n+S_n-1=3n²+2（n≥2，n∈N^*），S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，若對?n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導(dǎo)出a_n+2+a_n+1+a_n=6n+3，n≥2，所以a_n+3+a_n+2+a_n+1=6（n+1）+3，作差，得a_n+3-a_n，n≥2，由此能求出實數(shù)x的取值范圍．

解答： 解：由Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2，n≥2，n∈N^*，
知S_n+2+S_n+1+S_n=3（n+1）²+2，n∈N^*，
兩式作差，得a_n+2+a_n+1+a_n=6n+3，n≥2，
∴a_n+3+a_n+2+a_n+1=6（n+1）+3，
作差，得a_n+3-a_n=6，n≥2，
∴n=1時，a_n=a₁=x，
n=3k-1時，a_n=a_3k-1=a₂+（k-1）×6=2n+3x-4，
n=3k時，a_n=a_3k=a₃+（k-1）×6=2n-9x+8，
∵對任意n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，
∴a₁＜a₂，且a_3k-1＜a_3k＜a_3k+1＜a_3k+2，
∴

x＜3x 6k+3x-6＜6k-9x+8 6k-9x+8＜6k+6x-5 6k+6x-5＜6k+3x

，
解得

13

15

＜x＜

7

6

，
∴實數(shù)x的取值范圍是（

13

15

，

7

6

）．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．