已知函數(shù)f(x)=(x2-ax)ex(a∈R)
(1)當a=2時,求函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間.
(2)若函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調遞減,求a的取值范圍.
(3)函數(shù)f(x)可否為R上的單調函數(shù),若是,求出a的取值范圍,若不是,請說明理由.
【答案】分析:(1)當a=2時,由f(x)=(x2-2x)ex,知f′(x)=(2x-2)ex+(x2-2x)ex=(x2-2)ex,令f′(x)<0,能求出函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間.
(2)f′(x)=(2x-a)ex+(x2-ax)ex=[x2+(2-a)x-a]ex,由f(x)在(-1,1)上單調遞減,知對一切x∈(-1,1)恒成立,令,>0,
故g(x)在(-1,1)上是增函數(shù),由此能求出a的取值范圍.
(3)f′(x)=[x2+(2-a)x-a]ex,設t=x2+(2-a)x-a,由△=(2-a)2+4a=a2+4>0,知x∈R時,t不恒為正值,也不恒為負值,故f(x)在R上不可能單調.
解答:解:(1)當a=2時,f(x)=(x2-2x)ex
∴f′(x)=(2x-2)ex+(x2-2x)ex=(x2-2)ex,令f′(x)<0即(x2-2)ex<0,
∴x2-2<0,∴-,∴函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間是(-).
(2)f′(x)=(2x-a)ex+(x2-ax)ex=[x2+(2-a)x-a]ex,
∵f(x)在(-1,1)上單調遞減,∴x∈(-1,1)時,f′(x)≤0恒成立,
即x∈(-1,1)時,x2+(2-a)x-a≤0恒成立.即對一切x∈(-1,1)恒成立,令,>0,
∴g(x)在(-1,1)上是增函數(shù).∴g(x),a,
即a的取值范圍是[).
(3)∵f′(x)=[x2+(2-a)x-a]ex,設t=x2+(2-a)x-a,
△=(2-a)2+4a=a2+4>0,∴x∈R時,t不恒為正值,也不恒為負值.
即f′(x)的值不恒正,也不恒負,故f(x)在R上不可能單調.
點評:本題考查導數(shù)在函數(shù)單調性中的合理運用,解題時要認真審題,仔細解答,合理地運用導數(shù)的性質.
練習冊系列答案
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π
4
)
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π
6
對稱,求φ的值.

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1
x

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m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調,求實數(shù)m的范圍.

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1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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