Question

設(shè)F₁、F₂分別是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左，右焦點，過F₁的直線l與雙曲線的左支相交于A、B兩點，且三角形ABF₂是以∠B為直角的等腰直角三角形，記雙曲線C的離心率為e，則e²為（　�。�

• A、5-2

  2

• B、

  5

  2

  +

  2

  4

• C、5+2

  2

• D、

  5

  2

  -

  2

  4

Answer 1

分析：根據(jù)題設(shè)條件，利用雙曲線的定義，推導(dǎo)出|AF₂|=4a，再利用勾股定理確定a和c的關(guān)系式，由此能求出結(jié)果．

解答：解：如圖，
∵過F₁的直線l與雙曲線的左支相交于A、B兩點，
且三角形ABF₂是以∠B為直角的等腰直角三角形，
∴設(shè)|BF₂|=|AB|=x，∠ABF₂=90°，
∴|AF₁|=x-|BF₁|=2a，
∴|AF₂|=4a，
∵∠ABF₂=90°，
∴2x²=16a²，解得|BF₂|=|AB|=2

2

a，
∴|BF1|=2

2

a-2a=(2

2

-2)a，
∴[（2

2

-2）a]²+（2

2

a）²=（2c）²，
解得c=

5-2 2

a，
∴e2=

c2

a2

=5-2

2

．
故選A．

點評：本題考查雙曲線的離心率的平方的求法，解題時要熟練掌握雙曲線的性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運用．