Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，點D是AB的中點，則直線B₁B和平面CDB₁所成角的正切值為（　　）

• A、2

  2

• B、

  3 2

  2

• C、

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

分析：以D為坐標(biāo)原點，以CA，CB，CC₁為X，Y，Z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，令A(yù)C=BC=CC₁=2，我們易求出幾何體中各頂點的坐標(biāo)，及而求出直線B₁B的方向向量和平面CDB₁的法向量，代入向量夾角公式，求出直線B₁B和平面CDB₁所成角的正弦值，再由同有三角函數(shù)關(guān)系，即可求出直線B₁B和平面CDB₁所成角的正切值．

解答：解：以D為坐標(biāo)原點，以CA，CB，CC₁為X，Y，Z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，令A(yù)C=BC=CC₁=2
則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0），B₁（0，2，2）
則

B1B

=（0，0，-2），

CD

=（1，1，0），

CB1

=（0，2，2）
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面CDB₁的一個法向量
則

CD • n =0 CB1 • n =0

，即

x+y=0 2y+2z=0

令x=1則

n

=（1，-1，1）
則cos＜

n

，

B1B

＞=

n • B1B

| n |•| B1B |

=-

3

3

設(shè)直線B₁B和平面CDB₁所成角為θ
則sinθ=

3

3

，cosθ=

6

3

則tanθ=

2

2

故選D

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，其中建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將空間線面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．