Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，E為棱PC上異于C的一點，DE⊥BE．
（1）證明：E為PC的中點；
（2）求二面角P-DE-A的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，，∠BCD=90°，E為棱PC上異于C的一點，DE⊥BE，我們易得到BC⊥DE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可得到E為PC的中點；
（2）設(shè)二面角P-DE-A的大小為θ，則sinθ=（其中d為P到平面ADE的距離），利用等體積法求出d值后，即可得到二面角P-DE-A的大�。�
解答：證明：（1）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC
∵∠BCD=90°，即BC⊥CD，PD∩CD=D
∴BC⊥平面PCD
∵DE?平面PCD
∴BC⊥DE
又由PD=DC=1，
∴E為PC的中點；
解：（2）∵DE=，AD=，AE=，由余弦定理可得：
∠ADE=
故S_△ADE=•AD•DE•sin∠ADE=
設(shè)P點到平面ADE的距離為d
則V_P-AED=V_A-PDE=
則d=
又∵PE⊥DE，設(shè)二面角P-DE-A的大小為θ，則sinθ==
故二面角P-DE-A的大小為arcsin
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及其求法，直線與平面垂直的性質(zhì)，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到線線垂直，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)sinθ=（其中d為P到平面ADE的距離）計算二面角P-DE-A的正弦值．