Question

（2013•河西區(qū)一模）若f(x)=

ax2+1，x≥0 (a2-1)eax，x＜0

（a≠1），在定義域（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是（　　）

• A．(1，

  2

  ]
• B．[-

  2

  ，-1)∪[

  2

  ，+∞)
• C．(-∞，-

  2

  ]∪(1，

  2

  ]
• D．(0，

  2

  3

  )∪[

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：當(dāng)函數(shù)單調(diào)性是增函數(shù)時(shí)，相應(yīng)二次函數(shù)圖象為開口向上的拋物線且指數(shù)型函數(shù)的系數(shù)大于0，并且在x=0時(shí)，二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的值大于或等于指數(shù)型函數(shù)對(duì)應(yīng)的值．由此建立關(guān)于a的方程組并解之，即可得到實(shí)數(shù)a的范圍，同樣的方法可得函數(shù)的單調(diào)性是減函數(shù)時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍，最后綜合可得本題的答案．

解答：解：f（x）在定義域（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)時(shí)，
①函數(shù)的單調(diào)性是增函數(shù)時(shí)，可得當(dāng)x=0時(shí)，（a²-1）e^ax≤ax²+1=1，
即a²-1≤1，解之得-

2

≤a≤

2

∵x≥0時(shí)，y=ax²+1是增函數(shù)，∴a＞0
又∵x＜0時(shí)，（a²-1）e^ax是增函數(shù)，∴a²-1＞0，得a＜-1或a＞1
因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：1＜a＜

2

②函數(shù)的單調(diào)性是減函數(shù)時(shí)，可得當(dāng)x=0時(shí)，（a²-1）e^ax≥ax²+1=1，
即a²-1≤1，解之得a≤-

2

或a≥

2

．
∵x≥0時(shí)，y=ax²+1是減函數(shù)，∴a＜0
又∵x＜0時(shí)，（a²-1）e^ax是增函數(shù)，∴a²-1＞0，得a＜-1或a＞1
因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：a＜-

2

綜上所述，得a∈(-∞，-

2

]∪(1，

2

]
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題以分段函數(shù)為例，求函數(shù)為單調(diào)函數(shù)時(shí)參數(shù)a的范圍，著重考查了二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間等知識(shí)，屬于中檔題．