Question

如圖,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,過(guò)A作SB的垂線(xiàn),垂足為E,過(guò)E作SC的垂線(xiàn),垂足為F,求證:AF⊥SC.

Answer 1

思路解析:本題所給的已知條件中,垂直關(guān)系較多,不容易確定如何在證明中使用它們,因而用綜合法比較困難.這時(shí),可以從結(jié)論出發(fā),逐步反推,尋求使當(dāng)前命題成立的充分條件.在立體幾何中,通常可以把證明兩條直線(xiàn)互相垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明直線(xiàn)與平面垂直的問(wèn)題.

證明:要證AF⊥SC,只需證SC⊥平面AEF,只需證AE⊥SC(因?yàn)镋F⊥SC),只需證AE⊥平面SBC,只需證AE⊥BC(因?yàn)锳E⊥SB),只需證BC⊥平面SAB,只需證BC⊥SA(因?yàn)锳B⊥BC).

由SA⊥平面ABC可知,上式成立.

所以AF⊥SC.

方法歸納  注意此處空半格在分析法證明中,從結(jié)論出發(fā)的每一個(gè)步驟所得到的判斷都是結(jié)論成立的充分條件,最后一步歸結(jié)到已被證明了的事實(shí).因此,從最后一步可以倒推回去,直到結(jié)論,但這個(gè)倒推過(guò)程可以省略.