Question

已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為．斜率為k（k≠0）的直線?過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)且與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)M（0，m），且當(dāng)k=1時(shí)，下焦點(diǎn)到直線?的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)k=1時(shí)，下焦點(diǎn)到直線?的距離為，可求得c=1，利用離心率為，可求得a=，從而可求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線的方程為y=kx+1，與橢圓方程聯(lián)立，借助于線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)M（0，m），設(shè)線段PQ中點(diǎn)為N，從而有k_MN•k=-1，由此可求m的取值范圍．
解答：解：（1）依題意可得，下焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-c），上焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），直線方程為y=x+c
∵下焦點(diǎn)到直線?的距離為，∴，∴c=1
∵，可得
∴b=1
所以橢圓方程為
（2）設(shè)直線的方程為y=kx+1
由可得（k²+2）x²+2kx-1=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則，
可得
設(shè)線段PQ中點(diǎn)為N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為
由題意有k_MN•k=-1
可得，可得
∵k≠0，∴
點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓的幾何性質(zhì)為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是借助于線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)M（0，m），設(shè)線段PQ中點(diǎn)為N，從而有k_MN•k=-1