Question

層出不窮的食品安全問題，已經(jīng)極大地影響了公眾對于食品安全的信心，抓緊食品安全刻不容緩．假設(shè)某種品牌的食品在進(jìn)入市場前必須要對四項指標(biāo)依次進(jìn)行檢測，如果第一項檢測不合格則不能進(jìn)入市場，則停止檢測；若第一項檢測合格，后三項中有兩項檢測不合格就不能進(jìn)入市場，一旦檢測出該品牌的食品不能進(jìn)入市場或者能進(jìn)入市場都要停止檢測．已知每一項檢測是相互獨(dú)立的，第一項檢測合格的概率為

4

5

，其余三項每一項檢測合格的概率都為

2

3

．
（Ⅰ）求該品牌的食品不能進(jìn)入市場的概率；
（Ⅱ）設(shè)停止檢測時所進(jìn)行的檢測項數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）求出該品牌的食品能進(jìn)入市場的概率，利用對立事件的概率公式，求出該品牌的食品不能進(jìn)入市場的概率；
（Ⅱ）確定ξ的可能取值為1，2，3，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）記“該品牌的食品不能進(jìn)入市場”為事件A，則

.

A

：該品牌的食品能進(jìn)入市場，
∴P（A）=1-P（

.

A

）=1-

4

5

•[(

2

3

)3+

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)2]=1-

16

27

=

11

27

，
∴該品牌的食品不能進(jìn)入市場的概率為

11

27

；
（Ⅱ）ξ的可能取值為1，3，4，則
P（ξ=1）=

1

5

，P（ξ=3）=

4

5

•(

1

3

•

1

3

+

2

3

•

2

3

)=

4

9

，P（ξ=4）=1-

1

5

-

4

9

=

16

45

故ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P（ξ）	1 5	4 9	16 45

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1×

1

5

+3×

4

9

+4×

16

45

=

133

45

．

點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為載體，考查概率的應(yīng)用，考查相互獨(dú)立事件的概率公式，屬于中檔題．