已知△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且3sin2B+3sin2C-2sinBsinC=3sin2A，a=
3
，求
AB
•
AC
的最大值．
分析：△ABC中，利用正弦定理和余弦定理求得cosA=
1
3
，再利用基本不等式求得bc≤
9
4
，再利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求得
AB
•
AC
的最大值．
解答：解：△ABC中，∵3sin2B+3sin2C-2sinBsinC=3sin2A，由正弦定理得3b2+3c2-2bc=3a2，即3b2+3c2-3a2=2bc．
再由余弦定理得cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
3
．
∵a=
3
，∴3b2+3c2-2bc=9≥6bc-2bc=4bc，∴bc≤
9
4
，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立．
∴
AB
•
AC
=c•b•cosA=
bc
3
≤
3
4
，
故
AB
•
AC
的最大值為
3
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，基本不等式以及兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC中，A=60°，a=
15
，c=4，那么sinC=
2
5
5
2
5
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC中，A（4，2），B（1，8），C（-1，8）．
（1）求AB邊上的高所在的直線(xiàn)方程；
（2）直線(xiàn)l∥AB，與AC，BC依次交于E，F(xiàn)，S△CEF：S△ABC=1：4．求l所在的直線(xiàn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC中，a=2，b=1，C=60°，則邊長(zhǎng)c=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC中，a=2
3
，若
m
=(-cos
A
2
，sin
A
2
)，
n
=(cos
A
2
，sin
A
2
)滿(mǎn)足
m
•
n
=
1
2
．（1）若△ABC的面積S=
3
，求b+c的值．（2）求b+c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且
(AB)2
=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀，并求t=sinA+sinB的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，對(duì)任意的滿(mǎn)足題意的a，b，c都成立，求k的取值范圍．

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