已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
內(nèi)有一點(diǎn)P(1,-1),F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn).
(1)求該橢圓的離心率.
(2)在橢圓上求一點(diǎn)M,使得|MP|+2|MF|的值最小,并求出這個(gè)最小值.
分析:(1)根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到a2、b2的值,再由c=
a2-b2
求出c的值,再求出離心率;
(2)根據(jù)題意畫出圖形,利用橢圓的第二定義,把|MF|轉(zhuǎn)化到右準(zhǔn)線的距離,利用“兩點(diǎn)間的距離最短”和條件,求出最小值以及對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)依題設(shè)a2=4,b2=3,c=
a2-b2
=1

所以,離心率e=
c
a
=
1
2

(2)如圖:過(guò)M點(diǎn)作MQ垂直于橢圓的右準(zhǔn)線,垂足為點(diǎn)Q,
由橢圓的第二定義和(1)可知:
|MF|
|MQ|
=
1
2
,所以|MF|=
1
2
|MQ|

故|MP|+2|MF|=|MP|+|MQ|,
所以當(dāng)P、M、Q三點(diǎn)共線時(shí),由P(1,-1)得,
所求的值最小為|PQ|=(
a2
c
-xP)=4-1=3
,
把y=-1代入橢圓方程,解得x=
2
6
3
或x=-
2
6
3
(舍去),
此時(shí),M(
2
6
3
,-1)
點(diǎn)評(píng):本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)應(yīng)用,要求會(huì)根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出a、b、c、e的值,對(duì)于求距離的最值,一般利用第二定義把“橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離”進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知橢圓
x24
+y2=1
的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A,B,直線x=t(-2<t<2)與橢圓相交于M,N兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A,M,N的圓與經(jīng)過(guò)三點(diǎn)B,M,N的圓分別記為圓C1與圓C2
(1)求證:無(wú)論t如何變化,圓C1與圓C2的圓心距是定值;
(2)當(dāng)t變化時(shí),求圓C1與圓C2的面積的和S的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓
x2
4
+y2=1
,過(guò)E(1,0)作兩條直線AB與CD分別交橢圓于A,B,C,D四點(diǎn),已知kABkCD=-
1
4

(1)若AB的中點(diǎn)為M,CD的中點(diǎn)為N,求證:①kOMkON=-
1
4
為定值,并求出該定值;②直線MN過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn);
(2)求四邊形ACBD的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知橢圓
x2
4
+y2=1
,弦AB所在直線方程為:x+2y-2=0,現(xiàn)隨機(jī)向橢圓內(nèi)丟一粒豆子,則豆子落在圖中陰影范圍內(nèi)的概率為
π-2
π-2

(橢圓的面積公式S=π•a•b,其中a是橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng),b是橢圓短半軸長(zhǎng))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•朝陽(yáng)區(qū)三模)已知橢圓
x2
4
+y2=1
的焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,P為橢圓上一點(diǎn),且∠F1PF2=90°,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)可以是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓
x24
+y2=1
,過(guò)點(diǎn)M(-1,0)作直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求AB中點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)求△OAB面積的最大值,并求此時(shí)直線l的方程.

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