Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax²-bx．
（Ⅰ）當(dāng)a=b=時(shí)，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+ax²+bx+（0＜x≤3），以其圖象上任意一點(diǎn)P（x，y）為切點(diǎn)的切線的斜率k≤恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a=0，b=-1時(shí)，方程2mf（x）=x²有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】分析：（I ）先求定義域，再研究單調(diào)性，從而求最值．
（II）先構(gòu)造函數(shù)F（x）再由以其圖象上任意一點(diǎn)P（x，y）為切點(diǎn)的切線的斜率k≤恒成立，知導(dǎo)函數(shù)≤恒成立，再轉(zhuǎn)化為所以求解．
（III）先把程2mf（x）=x²有唯一實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解，再利用單調(diào)函數(shù)求解．
解答：解：（Ⅰ）依題意，知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．（1分）
當(dāng)時(shí)，，
．（2分）
令f′（x）=0，解得x=1．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減．（3分）
所以f（x）的極大值為，此即為最大值．（4分）
（Ⅱ），
所以，在x∈（0，3]上恒成立，（6分）
所以，x∈（0，3]（7分）
當(dāng)x=1時(shí)，取得最大值．所以a≥．（9分）
（Ⅲ）因?yàn)榉匠?mf（x）=x²有唯一實(shí)數(shù)解，
所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解．
設(shè)g（x）=x²-2mlnx-2mx，則．
令g′（x）=0，得x²-mx-m=0．
因?yàn)閙＞0，x＞0，
所以（舍去），，（10分）
當(dāng)x∈（0，x₂）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）單調(diào)遞增．
當(dāng)x=x₂時(shí)，g′（x₂）=0g（x），g（x₂）取最小值g（x₂）．（11分）
因?yàn)間（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．
則，即
所以2mlnx₂+mx₂-m=0，
因?yàn)閙＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0．（12分）
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，
因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，h（x）是增函數(shù)，所以h（x）=0至多有一解．（13分）
因?yàn)閔（I）=0，所以方程的解為（X₂）=1，即，
解得（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、不等式、方程的解等基本知識，同時(shí)考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，分類與整合及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想．