Question

使f（x）=sin（2x+θ）-

3

cos（2x+θ）為奇函數(shù)，且在[0，

π

4

]上是減函數(shù)的θ的一個(gè)值是（　�。�

• A．-

  π

  3

• B．-

  π

  6

• C．

  2π

  3

• D．

  5π

  6

Answer 1

分析：利用兩角和正弦公式化簡函數(shù)的解析式為 2sin（2x+θ-

π

3

），由于它是奇函數(shù)，故θ-

π

3

=kπ，k∈z，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，f（x）=-2sin2x，滿足在[0，

π

4

]上是減函數(shù)，
此時(shí)，θ=2nπ-

2π

3

，n∈z，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不滿足條件，從而得出結(jié)論．

解答：解：∵f（x）=sin（2x+θ）-

3

cos（2x+θ）=2sin（2x+θ-

π

3

）為奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即sin（θ-

π

3

）=0．∴θ-

π

3

=kπ，k∈z，故 θ=kπ+

π

3

，k∈z．
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令k=2n-1，θ=2nπ-

2π

3

，n∈z，此時(shí)f（x）=-2sin2x，滿足在[0，

π

4

]上是減函數(shù)，
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令k=2n，θ=2nπ+

π

3

，n∈z，此時(shí)f（x）=2sin2x，不滿足在[0，

π

4

]上是減函數(shù)．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查兩角和正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，化簡函數(shù)的解析式是解題的突破口，屬于中檔題．