Question

3．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，且其準線被該雙曲線截得的弦長是$\frac{2}{3}$b，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{13}{9}$
• B． $\frac{10}{9}$
• C． $\frac{\sqrt{13}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{3}$

Answer 1

分析 由題意可知：拋物線的焦點F（c，0），準線x=-c，將x=-c代入雙曲線方程，解得：y=±$\frac{^{2}}{a}$，即可求得$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{2}{3}$b，a=3b，利用雙曲線的離心率公式，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：由題意可知：拋物線的焦點F（c，0），準線x=-c，
將x=-c代入雙曲線方程，解得：y=±$\frac{^{2}}{a}$，
則準線被該雙曲線截得的弦長為$\frac{2^{2}}{a}$，
∴$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{2}{3}$b，a=3b，
雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
則雙曲線的離心率e=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
故選D．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質，主要是離心率公式，考查計算能力，屬于基礎題．