已知公比為的無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為9，無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為。

（1）求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；

（2）對(duì)給定的，設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，求的前2007項(xiàng)之和；

（3）（理）設(shè)為數(shù)列的第項(xiàng)，：

①求的表達(dá)式，并求出取最大值時(shí)的值。

②求正整數(shù)，使得存在且不等于零。

（文）設(shè)為數(shù)列的第項(xiàng)，：求的表達(dá)式，并求正整數(shù)，使得存在且不等于零。

（1）（2）（3）見解析


解析:

(1)依題意可知,。

(2)由(1)知,,所以數(shù)列的的首項(xiàng)為,公差,

,即數(shù)列的前項(xiàng)之和為。

(3) （理）===；

①；

由，解得，

計(jì)算可得，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)取最大值。

②=，

當(dāng)時(shí)，=－，當(dāng)時(shí)，=0，所以。

（文）===；

；

=，

當(dāng)時(shí)，=－，當(dāng)時(shí)，=0，所以。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•普陀區(qū)一模）定義：將一個(gè)數(shù)列中部分項(xiàng)按原來的先后次序排列所成的一個(gè)新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列．
已知無窮等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公比均為
1
2
．
（1）試求無窮等比子數(shù)列{a3k-1}（k∈N*）各項(xiàng)的和；
（2）是否存在數(shù)列{an}的一個(gè)無窮等比子數(shù)列，使得它各項(xiàng)的和為
1
7
？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）試設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題，研究：是否存在數(shù)列{an}的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得其各項(xiàng)和之間滿足某種關(guān)系．請(qǐng)寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（09年雅禮中學(xué)月考理）（13分）

定義：將一個(gè)數(shù)列中部分項(xiàng)按原來的先后次序排列所成的一個(gè)新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列．已知無窮等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比均為．

   （１）試求無窮等比子數(shù)列（）各項(xiàng)的和；

   （２）已知數(shù)列的一個(gè)無窮等比子數(shù)列各項(xiàng)的和為，求這個(gè)子數(shù)列的通項(xiàng)公式；

   （３）證明：在數(shù)列的所有子數(shù)列中，不存在兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項(xiàng)的和相等．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

定義：將一個(gè)數(shù)列中部分項(xiàng)按原來的先后次序排列所成的一個(gè)新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列．
已知無窮等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公比均為數(shù)學(xué)公式．
（1）試求無窮等比子數(shù)列{a3k-1}（k∈N*）各項(xiàng)的和；
（2）是否存在數(shù)列{an}的一個(gè)無窮等比子數(shù)列，使得它各項(xiàng)的和為數(shù)學(xué)公式？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）試設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題，研究：是否存在數(shù)列{an}的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得其各項(xiàng)和之間滿足某種關(guān)系．請(qǐng)寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009年上海市普陀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

定義：將一個(gè)數(shù)列中部分項(xiàng)按原來的先后次序排列所成的一個(gè)新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列．
已知無窮等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公比均為．
（1）試求無窮等比子數(shù)列{a3k-1}（k∈N*）各項(xiàng)的和；
（2）是否存在數(shù)列{an}的一個(gè)無窮等比子數(shù)列，使得它各項(xiàng)的和為？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）試設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題，研究：是否存在數(shù)列{an}的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得其各項(xiàng)和之間滿足某種關(guān)系．請(qǐng)寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009年上海市普陀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

定義：將一個(gè)數(shù)列中部分項(xiàng)按原來的先后次序排列所成的一個(gè)新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列．
已知無窮等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公比均為．
（1）試求無窮等比子數(shù)列{a3k-1}（k∈N*）各項(xiàng)的和；
（2）是否存在數(shù)列{an}的一個(gè)無窮等比子數(shù)列，使得它各項(xiàng)的和為？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）試設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題，研究：是否存在數(shù)列{an}的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得其各項(xiàng)和之間滿足某種關(guān)系．請(qǐng)寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結(jié)論．

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