【題目】已知函數(shù).

（1）若有兩個不同的極值點，，求實數(shù)的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，求證：.

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由得，根據(jù)有兩個不同的極值點，，則有兩個不同的零點，即方程有兩個不同的實根，轉(zhuǎn)化為直線與的圖象有兩個不同的交點求解.

（2）由（1）知，設(shè)，則，由得，，要證，將 代入整理為，再令，轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，研究其最大值即可.

（1）由得，

有兩個不同的極值點，，則有兩個不同的零點，

即方程有兩個不同的實根，

即直線與的圖象有兩個不同的交點，

設(shè)，則，

時，單調(diào)遞增，且的取值范圍是；

時，單調(diào)遞減，且的取值范圍是，

所以當時，直線與的圖象有兩個不同的交點，

有兩個不同的極值點，，

故實數(shù)的取值范圍是.

（2）由（1）知，設(shè)，則，

由得，

所以要證，只需證，

即證，即證，

設(shè)，即證，即證，

設(shè)，則，

所以在是增函數(shù)，，

所以，從而有.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】由甲、乙、丙三個人組成的團隊參加某項闖關(guān)游戲，第一關(guān)解密碼鎖，3個人依次進行，每人必須在1分鐘內(nèi)完成，否則派下一個人.3個人中只要有一人能解開密碼鎖，則該團隊進入下一關(guān)，否則淘汰出局.根據(jù)以往100次的測試，分別獲得甲、乙解開密碼鎖所需時間的頻率分布直方圖.

（1）若甲解開密碼鎖所需時間的中位數(shù)為47，求、的值，并分別求出甲、乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率；

（2）若以解開密碼鎖所需時間位于各區(qū)間的頻率代替解開密碼鎖所需時間位于該區(qū)間的概率，并且丙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的概率為0.5，各人是否解開密碼鎖相互獨立.

①按乙丙甲的先后順序和按丙乙甲的先后順序哪一種可使派出人員數(shù)目的數(shù)學期望更小.

②試猜想：該團隊以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的數(shù)學期望達到最小，不需要說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題：將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個數(shù)列，則該數(shù)列各項之和為（ ）

A.56383B.57171C.59189D.61242

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工廠連續(xù)6天對新研發(fā)的產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到一組數(shù)據(jù)如下表所示

日期

4月1日

4月2日

4月3日

4月4日

4月5日

4月6日

試銷價元

9

11

10

12

13

14

產(chǎn)品銷量件

40

32

29

35

44

（1）試根據(jù)4月2日、3日、4日的三組數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程，并預測4月6日的產(chǎn)品銷售量；

（2）若選取兩組數(shù)據(jù)確定回歸方程，求選取得兩組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰兩天的事件的概率.

參考公式：

其中 ，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)，）.在極坐標系（以坐標原點為極點，以軸非負半軸為極軸）中，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若曲線上恰有一個點到曲線的距離為1，求曲線的直角坐標方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列滿足.

（1）若數(shù)列的首項為，其中，且，，構(gòu)成公比小于0的等比數(shù)列，求的值；

（2）若是公差為d(d＞0)的等差數(shù)列的前n項和，求的值；

（3）若，，且數(shù)列單調(diào)遞增，數(shù)列單調(diào)遞減，求數(shù)列的通項公式.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)中心在原點，焦點在軸上的橢圓過點，且離心率為．為的右焦點，為上一點，軸，的半徑為．

（1）求和的方程；

（2）若直線與交于兩點，與交于兩點，其中在第一象限，是否存在使？若存在，求的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，以軸為始邊做兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為

（1）求的值； （2）求的值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，某人承包了一塊矩形土地用來種植草莓，其中m，m.現(xiàn)規(guī)劃建造如圖所示的半圓柱型塑料薄膜大棚個，每個半圓柱型大棚的兩半圓形底面與側(cè)面都需蒙上塑料薄膜（接頭處忽略不計），塑料薄膜的價格為每平方米元；另外，還需在每個大棚之間留下m寬的空地用于建造排水溝與行走小路（如圖中m），這部分建設(shè)造價為每平方米元.

（1）當時，求蒙一個大棚所需塑料薄膜的面積；（本小題結(jié)果保留）

（2）試確定大棚的個數(shù)，使得上述兩項費用的和最低？（本小題計算中取）

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