【題目】已知函數(shù).
(1)若有兩個不同的極值點
,
,求實數(shù)
的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,求證:.
【答案】(1);(2)詳見解析.
【解析】
(1)由得
,根據(jù)
有兩個不同的極值點
,
,則
有兩個不同的零點,即方程
有兩個不同的實根,轉(zhuǎn)化為直線
與
的圖象有兩個不同的交點求解.
(2)由(1)知,設(shè)
,則
,由
得
,
,要證
,將
代入整理為
,再令
,轉(zhuǎn)化為
,再構(gòu)造函數(shù)
,研究其最大值即可.
(1)由得
,
有兩個不同的極值點
,
,則
有兩個不同的零點,
即方程有兩個不同的實根,
即直線與
的圖象有兩個不同的交點,
設(shè),則
,
時
,
單調(diào)遞增,且
的取值范圍是
;
時
,
單調(diào)遞減,且
的取值范圍是
,
所以當(dāng)時,直線
與
的圖象有兩個不同的交點,
有兩個不同的極值點
,
,
故實數(shù)的取值范圍是
.
(2)由(1)知,設(shè)
,則
,
由得
,
所以要證,只需證
,
即證,即證
,
設(shè),即證
,即證
,
設(shè),則
,
所以在
是增函數(shù),
,
所以,從而有
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由甲、乙、丙三個人組成的團隊參加某項闖關(guān)游戲,第一關(guān)解密碼鎖,3個人依次進行,每人必須在1分鐘內(nèi)完成,否則派下一個人.3個人中只要有一人能解開密碼鎖,則該團隊進入下一關(guān),否則淘汰出局.根據(jù)以往100次的測試,分別獲得甲、乙解開密碼鎖所需時間的頻率分布直方圖.
(1)若甲解開密碼鎖所需時間的中位數(shù)為47,求、
的值,并分別求出甲、乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率;
(2)若以解開密碼鎖所需時間位于各區(qū)間的頻率代替解開密碼鎖所需時間位于該區(qū)間的概率,并且丙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的概率為0.5,各人是否解開密碼鎖相互獨立.
①按乙丙甲的先后順序和按丙乙甲的先后順序哪一種可使派出人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望更小.
②試猜想:該團隊以怎樣的先后順序派出人員,可使所需派出的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達到最小,不需要說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”,原文如下:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二.問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題:將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構(gòu)成一個數(shù)列,則該數(shù)列各項之和為( )
A.56383B.57171C.59189D.61242
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠連續(xù)6天對新研發(fā)的產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷,得到一組數(shù)據(jù)如下表所示
日期 | 4月1日 | 4月2日 | 4月3日 | 4月4日 | 4月5日 | 4月6日 |
試銷價 | 9 | 11 | 10 | 12 | 13 | 14 |
產(chǎn)品銷量 | 40 | 32 | 29 | 35 | 44 |
(1)試根據(jù)4月2日、3日、4日的三組數(shù)據(jù),求關(guān)于
的線性回歸方程
,并預(yù)測4月6日的產(chǎn)品銷售量
;
(2)若選取兩組數(shù)據(jù)確定回歸方程,求選取得兩組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰兩天的事件的概率.
參考公式:
其中
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(其中
為參數(shù),
).在極坐標(biāo)系(以坐標(biāo)原點
為極點,以
軸非負(fù)半軸為極軸)中,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求曲線的普通方程和曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線上恰有一個點到曲線
的距離為1,求曲線
的直角坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足
.
(1)若數(shù)列的首項為
,其中
,且
,
,
構(gòu)成公比小于0的等比數(shù)列,求
的值;
(2)若是公差為d(d>0)的等差數(shù)列
的前n項和,求
的值;
(3)若,
,且數(shù)列
單調(diào)遞增,數(shù)列
單調(diào)遞減,求數(shù)列
的通項公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)中心在原點,焦點在軸上的橢圓
過點
,且離心率為
.
為
的右焦點,
為
上一點,
軸,
的半徑為
.
(1)求和
的方程;
(2)若直線與
交于
兩點,與
交于
兩點,其中
在第一象限,是否存在
使
?若存在,求
的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以
軸為始邊做兩個銳角
,它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點,已知A,B的橫坐標(biāo)分別為
(1)求的值; (2)求
的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某人承包了一塊矩形土地用來種植草莓,其中
m,
m.現(xiàn)規(guī)劃建造如圖所示的半圓柱型塑料薄膜大棚
個,每個半圓柱型大棚的兩半圓形底面與側(cè)面都需蒙上塑料薄膜(接頭處忽略不計),塑料薄膜的價格為每平方米
元;另外,還需在每個大棚之間留下
m寬的空地用于建造排水溝與行走小路(如圖中
m),這部分建設(shè)造價為每平方米
元.
(1)當(dāng)時,求蒙一個大棚所需塑料薄膜的面積;(本小題結(jié)果保留
)
(2)試確定大棚的個數(shù),使得上述兩項費用的和最低?(本小題計算中取
)
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