Question

函數f(x)=

x-x3

1+2x2+x4

的最大值與最小值的積為

-

1

16

．

Answer 1

分析：由題意可得f（x）為奇函數，對函數求導可得f′(x)=

(1-3x2)(1+2x2+x4)(x-x3)(4x+4x3)

(x2+1)4

=

x4-6x2+1

(x2+1)3

，結合奇函數的性質，只要先考慮x＞0時，結合導數可判斷函數f（x）在（0，

2

-1]上單調遞增，在（

2

-1，

2

+1）上單調遞增，在[

2

+1，+∞）上單調遞增，且

lim

x→+∞

x-x3

x4+2x2+1

=

lim

x→+∞

1 x3 - 1 x

1+ 2 x2 + 1 x4

=0，f(

2

-1)＞0，f(

2

+1)＜0可知f(x)max=f(

2

-1)，根據奇函數的對稱性可得f（x）_min=-f（x）max，代入可求

解答：解：∵f(x)=

x-x3

1+2x2+x4

∴f（-x）=

x3-x

1+2x2+x4

=-f（x）
∴f（x）為奇函數
當x＞0時，f′(x)=

(1-3x2)(1+2x2+x4)(x-x3)(4x+4x3)

(x2+1)4

=

x4-6x2+1

(x2+1)3

令f′（x）＞0可得x⁴-6x²+1＞0，即0＜x＜

2

-1或x＞

2

+1
f′（x）＜0可得x⁴-6x²+1＜0，即

2

-1＜x＜

2

+1
∴f（x）在（0，

2

-1]上單調遞增，在（

2

-1，

2

+1）上單調遞增，在[

2

+1，+∞）上單調遞增
又∵

lim

x→+∞

x-x3

x4+2x2+1

=

lim

x→+∞

1 x3 - 1 x

1+ 2 x2 + 1 x4

=0，f（0）=0
∵f(

2

-1)＞0，f(

2

+1)＜0
∴f(x)max=f(

2

-1)=

1

4

，f（x）_min=-f（x）max=-

1

4

則最大值與最小值的積為

( 2 -1)[1-( 2 -1)2]( 2 +1)[1-( 2 +1)2]

[1+( 2 -1)2]2[1+(1+ 2 )2]2

=-

1

16

故答案為：-

1

16

點評：本題主要考查了利用函數的導數求解函數的最值，其中奇函數的對稱性的利用及函數最大值的位置判斷是解答本題的關鍵