Question

已知二階矩陣A=，矩陣A屬于特征值λ₁=-1的一個(gè)特征向量為α₁=．
（1）求矩陣A的另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量；
（2）若向量m=，求A⁴m．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知：A₁=λ₁（₁為特征向量，λ為特征值），利用矩陣的乘法法則化簡(jiǎn)求出a與c的值，代入矩陣A即可得A，再根據(jù)矩陣A的特征多項(xiàng)式解出矩陣A的另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量；
（2）根據(jù)矩陣A的特征多項(xiàng)式求出矩陣A的所有特征值，然后根據(jù)特征向量線性表示出向量，利用矩陣的乘法法則求出=-10α₁+3α₂②，代入A⁴中求出值即可．
解答：解：（1）由題知：=-，即a-3=-1，c-1=1，解得a=2，b=2，
所以A=；
矩陣A的特征多項(xiàng)式為f（λ）==λ²-3λ-4=0，
得λ₁=-1，λ₂=4，
當(dāng)λ₁=-1時(shí)，α₁=，
當(dāng)λ₂=4時(shí)，將λ₂=4代入特征方程組，得⇒2x+3y=0．
可取α₂=為屬于特征值λ₂=4的一個(gè)特征向量．（8分）
（2）由=pα₁+qα₂=p+q=，
得：解得 ，則=-10α₁+3α₂
∴A⁴=A⁴（-10α₁+3α₂）=-10（A⁴α₁）+3A⁴α₂
=-10（ α₁）+3α₂=-10×1×+3×256×=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查待定系數(shù)法求矩陣，考查特征值與特征向量，理解特征值、特征向量的定義是關(guān)鍵．