Question

已知函數(shù)．

（1）證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

（2）若不等式對任意的都成立，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）.

【解析】

試題分析：（1）對原函數(shù)進行求導(dǎo)，難易判斷正負，再令，并求導(dǎo)，從而判斷出在上單調(diào)遞減，∴，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）對不等式兩邊進行取對數(shù)，分離出參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)，在令分子為一個新的函數(shù)求導(dǎo)，并利用（1）得時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴

所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以，所以函數(shù)在上最小值為，即，則的最大值為.

 

試題解析：（1），令，

，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，

∴，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

（2）在原不等式兩邊取對數(shù)為，由知

設(shè)

，

設(shè)，

，

由（1）知時，，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴

∴，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減.

∴，

∴函數(shù)在上最小值為，即

∴的最大值為.

考點：1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性；2.分離參數(shù)求函數(shù)取值范圍.