Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），過點(diǎn)E（m，0）（m≠0）的直線交拋物線與點(diǎn)M，N，交y軸于點(diǎn)P，若

PM

=λ

ME

，

PN

=μ

NE

，則λ+μ=（　�。�

A．1

B．-1

C．2

D．-2

Answer 1

分析：設(shè)M，N，P的坐標(biāo)，由已知的向量等式把M，N的坐標(biāo)用λ，μ和P的坐標(biāo)表示，設(shè)出過點(diǎn)E（m，0）（m≠0）的直線方程，和拋物線方程聯(lián)立后寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合M點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線方程聯(lián)立整理即可得到答案．

解答：解：分別設(shè)M，N，P的坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（0，y₀），由

PM

=λ

ME

，

PN

=μ

NE

，
∴（x₁，y₁-y₀）=λ（m-x₁，-y₁），（x₂，y₂-y₀）=μ（m-x₂，-y₂），
可得到x1=

λm

1+λ

，x2=

μm

1+μ

，y1=

y0

1+λ

，y2=

y0

1+μ

，
直線MN的方程為：x=ty+m，
把x1=

λm

1+λ

，y1=

y0

1+λ

，代入x=ty+m得：t=-

m

y0

①
把x=ty+m，代入y²=2px，得y²-2pty-2pm=0．
∴y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-2pm．
∴

y0

1+λ

+

y0

1+μ

=2pt ②

y02

(1+λ)(1+μ)

=-2pm③
聯(lián)立①②③得λ+μ=-1．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了直線與援錐曲線的綜合題，考查了平面向量在解題中的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵在于大膽的設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)及直線方程，靈活運(yùn)用已知條件列式消去未知量，體現(xiàn)了整體運(yùn)算思想，是難題．