Question

設(shè)函數(shù)f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a2-a-1，（a∈R）
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

3

]時(shí)，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用兩角和差的正弦公式、二倍角公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為2sin(2x+

π

6

)+a2-a，由此求得最小正周期、以及函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（2）當(dāng) x∈[0

π

3

]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

6

 

5π

6

]，由此可得函數(shù)f（x）=2sin(2x+

π

6

)+a2-a的最大值．

解答：解：（I）∵f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a2-a-1=2sin(2x+

π

6

)+a2-a
∴函數(shù)f（x）的最小正周期

2π

2

=π．
由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（2）當(dāng) x∈[0，

π

3

]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，
∴當(dāng) 2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

，f（x）取得最大值是a²-a+2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的正弦公式、二倍角公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域、值域，屬于中檔題．