Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+8x+3，對(duì)于給定的負(fù)數(shù)a，有一個(gè)最大的正數(shù)M（a），使得x∈[0，M（a）]，時(shí)，恒有|f（x）|≤5，
（1）求M（a）關(guān)于a的表達(dá)式；   （2）求M（a）的最大值及相應(yīng)的a的值．

Answer 1

分析：（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值，研究二次函數(shù)的最值與5的大小關(guān)系，分類討論，求M（a），
（2）由（1）中所得的表達(dá)式，求其最值即可．

解答：解：（1）由a＜0，f(x)=a(x+

4

a

)2+3-

16

a

當(dāng)3-

16

a

＞5，即-8＜a＜0時(shí)，要使|f（x）|≤5，在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是ax²+8x+3=5的較小的根，即M（a）=

2a+16 -4

a

；
當(dāng)3-

16

a

≤5，即a≤-8時(shí)，要使|f（x）|≤5，在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是ax²+8x+3=-5的較大的根，即M（a）=

-2 4-2a -4

a

；
所以M（a）=

2a+16 -4 a (-8＜a＜0) -2 4-2a -4 a (a≤-8)

（2）當(dāng)-8＜a＜0時(shí)，M（a）=

2a+16 -4

a

=

2

2a+16 +4

＜

1

2

；
當(dāng)a≤-8時(shí)，M（a）=

-2 4-2a -4

a

=

4

4-2a -2

≤

4

20 -2

=

5 +1

2

；
所以M（a）的最大值為M（-8）=

5 +1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，求解的關(guān)鍵是正確理解“對(duì)于給定的負(fù)數(shù)a，有一個(gè)最大的正數(shù)M（a），使得x∈[0，M（a）]，時(shí)，恒有|f（x）|≤5”此條件比較抽象，易因?yàn)檗D(zhuǎn)化不等價(jià)導(dǎo)致錯(cuò)誤，要根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象好好研究．