Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁＝a(a＞2)，且a_n＋1＝(n∈N)．

(Ⅰ)證明：a₂＞2；

(Ⅱ)證明：a_n+1＜a_n；

(Ⅲ)若a＞3，且存在自然數(shù)k，使a_k≥3，證明：k＜1＋．

Answer 1

答案：
解析：

本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學歸納法、不等式等基礎(chǔ)知識，考查邏輯推理能力和綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力． 　　(Ⅰ)證明：∵a1＝a＞2，∴(a－2)2＞0． 　　于是a2－2＝－2＝＞0，∴a2＞2． 　　(Ⅱ)證明：先證明an＞2，事實上，當n＝1時，a1＝a＞2，命題成立． 　　假設(shè)n＝k(k∈N)時命題成立，即ak＞2， 　　于是ak+1－2＝－2＝＞0，∴ak+1＞2． 　　這說明當n＝k＋1時命題也成立 　　故對任意自然數(shù)n，都有an＞2．　　下面證明an+1＜an． 　　∵＝＝(1＋)＜(1＋)＝1 　　又an＞2＞0，∴an+1＜an． 　　(Ⅲ)證明：當k＝1時，不等式顯然成立． 　　當k≥2時，由a＞3，ak+1＜ak及ak≥3，可得a1＞a2＞a3＞…＞ak≥3． 　　則＝＝(1＋)＜(1＋)＝． 　　又ak＝a1···…·＜a1···…·＝a·， 　　∴3≤ak＜a·，即3＜a·． 　　由a＞3得0＜＜1，∴＞，于是k－1＜，即k＜1＋．