Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²（x-a）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，

2

3

)內(nèi)是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值h（a）；
（3）對(duì)（2）中的h（a），若關(guān)于a的方程h(a)=m(a+

1

2

)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化成導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間≤0恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值．
（2）令導(dǎo)數(shù)為0，求得根，討論根與區(qū)間[1，2]的關(guān)系，判斷根左右兩邊的符號(hào)求出最小值．
（3）方程有兩不等根轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象有兩不同交點(diǎn)．

解答：（1）解：∵f（x）=x³-ax²，∴f′（x）=3x²-2ax．
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，

2

3

)內(nèi)是減函數(shù)，
∴f′（x）=3x²-2ax≤0在(0，

2

3

)上恒成立．
即a≥

3x

2

在(0，

2

3

)上恒成立，
∵

3x

2

＞

3

2

×

2

3

=1，∴a≥1．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）；

（2）解：∵f′(x)=3x(x-

2

3

a)，
令f′（x）=0得x=0或

2

3

a．
①若a≤0，則當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f′（x）＞0，
所以f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
所以h（a）=f（1）=1-a．
②若0＜a＜

3

2

，即0＜

2

3

a＜1，
則當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f′（x）＞0，
所以f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
所以h（a）=f（1）=1-a．
③若

3

2

≤a＜3，即1≤

2

3

a＜2，
則當(dāng)1＜x＜

2

3

a時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)

2

3

a＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0．
所以f（x）在區(qū)間[1，

2

3

a]上是減函數(shù)，
在區(qū)間[

2

3

a，2]上是增函數(shù)．
所以h(a)=f(

2

3

a)=-

4

27

a3
④若a≥3，即

2

3

a≥2，則當(dāng)1＜x＜2時(shí)，
f′（x）＜0，所以f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)．
所以h（a）=f（2）=8-4a．
綜上所述，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]的最小值h(a)=

1-a，a＜ 3 2 - 4 27 a3， 3 2 ≤a＜3 8-4a，a≥3

；

（3）解：由題意h(a)=m(a+

1

2

)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，
即（2）中函數(shù)h（a）的圖象與直線y=m(a+

1

2

)有兩個(gè)
不同的交點(diǎn)．
而直線y=m(a+

1

2

)恒過(guò)定點(diǎn)(-

1

2

，0)，
由如圖知實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-4，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問(wèn)題；不等式恒成立問(wèn)題；導(dǎo)數(shù)求最值問(wèn)題；方程根問(wèn)題；數(shù)形結(jié)合思想；轉(zhuǎn)化化歸思想．