Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥面PAB；
（2）若AB=BC，求AC與面AEF所成的角．

Answer 1

【答案】分析：方法一：（1）取PA中點(diǎn)G，連接FG，DG，證明DG⊥平面PABDE，根據(jù)FE∥DG，得出EF⊥面PAB；
（2）由圖形知線面角不易做出，但斜線AC的長(zhǎng)度易求出，且可用等體積法算出C到而AEF的距離，如此則可以算出線面角的正弦值．此法省卻了作圖的麻煩．
方法二：由題設(shè)建立空間坐標(biāo)系比較方便，故可用空間向量法解決，（1）求出直線的方向向量與面的法向量，證明其內(nèi)積為0即可．（2）求出面的法向量與線的方向向量，按規(guī)則求出線面角即可．
解答：解：方法一：
（1）取PA中點(diǎn)G，連接FG，DG

⇒四邊形DEFG為平行四邊形⇒EFDG
⇒平面PAB⊥平面PAD
又PD=AD，PG=GA⇒DG⊥PA
⇒DG⊥平面PABDE，又FE∥DG
⇒EF⊥平面PAB．（6分）
（2）設(shè)AC，BD交于O，連接FO．
由PF=BF，BO=OD得FOPD，又PD⊥平面ABCD
∴FO⊥平面ABCD
設(shè)BC=a，則AB=a，∴PA=a，
DG=a=EF，∴PB=2a，AF=a．
設(shè)C到平面AEF的距離為h．
∵V_C-AEF=V_F-ACE，∴
即∴
∴AC與平面AEF所成角的正弦值為．
即AC與平面AEF所成角為（12分）
方法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的長(zhǎng)為單位，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
（1）證明：
設(shè)E（a，0，0），其中a＞0，則，，∴EF⊥PB，，∴AB⊥EF
又PB?平面PAB，AB?平面PAB，PB∩AB=B，∴EF⊥?平面PAB（6分）
（2）解：由，得，
可得
，
則異面直線AC，PB所成的角為，
，∴，
又PB⊥EF，AF為平面AEF內(nèi)兩條相交直線，
∴PB⊥平面AEF，∴AC與平面AEF所成的角為，
即AC與平面AEF所成的角為．（12分）
點(diǎn)評(píng)：考查用幾何法與向量法證明空間幾何體中的線面垂直問(wèn)題及求線面夾角的問(wèn)題．