Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-m（x+1）ln（x+1），（x＞-1，m≥0）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當m=1時，若直線y=t與函數(shù)f（x）在[-

1

2

，1]上的圖象有兩個交點，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）證明：當a＞b＞0時，（1+a）^b＜（1+b）^a．

Answer 1

（1）f'（x）=1-mln（x+1）-m
=1 ①m=0時，f'（x）=1＞0，
∴f（x）在定義域（-1，+∞）是增函數(shù)（2分）
=2 ②m＞0時，令f'（x）＞0得mln（x+1）＜1-m，∴-1＜x＜e

1-m

m

-1
∴f（x）在[-1，e

1-m

m

-1]上單調(diào)遞增，在[e

1-m

m

-1，+∞)上單調(diào)遞減（4分）
（2）直線y=t與函數(shù)f（x）在[-

1

2

，1]上的圖象有兩個交點等價于方程f（x）=t在[-

1

2

，1]上有兩個實數(shù)解（5分）
由（I）知，f（x）在[-

1

2

，0]上單調(diào)遞增，在[0，1]上單調(diào)遞減．
又f(0)=0，f(1)=1-ln4，f(-

1

2

)=-

1

2

+

1

2

ln2，且f(1)＜f(-

1

2

)（7分）
∴當t∈[-

1

2

+

1

2

ln2，0)時，方程f（x）=t有兩個不同解，
即直線y=t與函數(shù)f（x）在[-

1

2

，1]上的圖象有兩個交點（8分）
（3）要證：（1+a）^b＜（1+b）^a
只需證bln（1+a）＜aln（1+b），只需證：

ln(1+a)

a

＜

ln(1+b)

b

（10分）
設(shè)g(x)=

ln(1+x)

x

，(x＞0)則g′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

=

x-(1+x)ln(1+x)

x2(1+x)

．（12分）
由（I）知x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，∴x-（1+x）ln（1+x）＜0即g（x）是減函數(shù)，而a＞b
∴g（a）＜g（b），故原不等式成立（14分）