Question

各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈Nⁿ）（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；（II）記b_n=2ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的前項和T_n．

Answer 1

分析：（I）通過仿寫作差將和與項的遞推關系轉化為項間的遞推關系，利用等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式求出通項．
（II）求出數(shù)列{b_n}的通項，據(jù)通項特點，選擇利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和．

解答：解：（I）令n=1，則2（S₁+1）=a₁²+a₁
∴a₁=-1（舍）或a₁=2
當n≥2時，2（S_n+1）=a_n²+a_n
2（S_n-1+1）=a_n-1²+a_n-1
兩式相減得
2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1
∵a_n＞0
∴a_n-a_n-1=1
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項為2，公差為1
∴a_n=n+1
（II）∵b_n=2ⁿ•a_n=（n+1）•2ⁿ
∴T_n=2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ
2T_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹
兩式相減得
-T_n=2+2+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=2+

2(1-2n)

1-2

-(n+1)•2n+1
∴T_n=n•2ⁿ⁺¹

點評：求數(shù)列的前n項和，首先求出數(shù)列的通項，根據(jù)通項的特點選擇合適的求和方法，當通項是一個等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積構成的新數(shù)列，利用錯位相減法求和．