Question

已知各項均為整數的等比數列{a_n}，公比q＞1，且滿足a₂a₄=64，a₃+2是a₂，a₄的等差中項．（1）求數列的通項公式（2）設A_n=a_n+1-2，B_n=log₂²a_n+1，試比較A_n與B_n的大小，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）利用等比中項公式直接求出a₃=8，利用a₃+2是a₂，a₄的等差中項．求出公比，然后求出通項公式；
（2）表示出A_n=a_n+1-2，B_n=log₂²a_n+1，驗證二者的大小，利用數學歸納法證明第一步，驗證n=4時，不等式成立，第二步，假設n=k時，結論成立，下面證明n=k+1時也成立．

解答：解：（1）

因為a2a4=64

，∴a32=64，a3=±8.，∴a3=8，a₃+2是a₂，a₄的等差中項，所以a₂=4，a₄=16，所以數列的通項公式a_n=2ⁿ．
（2）

由(1)得An=2n+1-2，Bn=lo g 2 2 2n+1=(n+1)2， 當n=1時，A1=2，B1=(1+1)2=4，A1＜B1； 當n=2時，A2=6，B2=(2+1)2=9，A2＜B2； 當n=3時，A13=14，B3=(3+1)2=16，A3＜B3； 當n=4時，A4=30，B4=(4+1)2=25，A4＞B4； 由上可以猜想，當1≤n≤3時，An＜Bn；當n≥4時，An＞Bn

下面用數學歸納法給出證明：
①當n=4時，已驗證不等式成立．
②

假設n=k(k≥4)時，Ak＞Bk成立，即2k+1-2＞(k+1)2 當n=k+1時，Ak+1=2k+2-2=2(2k+1-2)+2＞2(k+1)2+2=2k2+4k+4 ＞k2+4k+4=[(k+1)+1]2=Bk+1 即當n=k+1時不等式也成立．

由①②知，當n≥4（n∈N^*）時，A_n＞B_n
綜上，當1≤n≤3時，A_n＜B_n；當n≥4時，A_n＞B_n

點評：本題主要考查了等比數列和等差數列的性質．考查了學生對數列基本知識的掌握．難點在于作差比較大小，得出的結果不能判別符號，不少學生在此會放棄；在于要想到用數學歸納法來證明差中的一部分．