Question

21、如圖，△ABC內接于圓⊙，點D是圓⊙上異于A、B、C三點的任意一點，過D點作DP⊥AB，DQ⊥BC，DR⊥AC，交AB、BC、AC分別為P，Q，R．
（1）求證：∠BDP=∠CDR；
（2）求證：P，Q，R三點共線．

Answer 1

分析：（1）由已知中四邊形ABDC為圓內接四邊形，根據圓內接四邊形性質，我們易得∠DBP=∠DCP，結合已知中DP⊥AB，DR⊥AC，根據等角的余角相等，即可得到答案．
（2）由已知中DP⊥AB，DQ⊥BC，可判斷出P、D、Q、B四點共圓，進而根據圓周角定理得到∠PQD=∠PBD，同理可得∠RQC=∠RDC，結合（1）中結論，我們易證明∠PQD+∠RQD=180°，進而得到P、Q、R三點共線．

解答：證明：（1）由已知可得四邊形ABDC為圓內接四邊形
則∠DBP=∠DCP
又∵DP⊥AB，DR⊥AC，
∴∠BDP=90°-∠DBP，∠CDR=90°-∠DCP；
∴∠BDP=∠CDR；
（2）∵DP⊥AB，DQ⊥BC，
∴P、D、Q、B四點共圓
∴∠PQD=∠PBD
同理可得∠RQC=∠RDC
∵∠PBD+∠RDC=90°
∴∠PQD+∠RQD=90°+∠CQD=180°
故P、Q、R三點共線

點評：本題考查的知識點是圓內接四邊形的判定與性質，其中根據已知條件判斷出P、D、Q、B四點共圓，進而根據圓周角定理得到∠PQD=∠PBD，并同理得到∠RQC=∠RDC，是證明三點共線的關鍵．