Question

已知f （x）=2cos² x+2sin xcos x+a （a為常數(shù)）．
（1）求f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f （x）在區(qū)間[-，]上的最大值與最小值之和為3，求a的值．

Answer 1

解：（1）f （x）=2cos²x+2sin xcosx+a
=2cos²x-1+2sin xcosx+a+1
=2cos2x+sin 2x+a+1
=2sin（2x+）+a+1
令2kπ-≤2x+≤2kπ+，
即kπ-≤x≤kπ+，
∴f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-，kπ+]（k∈Z） （6分）
（2）因為x∈[-，]
所以2x+∈[-，]
所以sin（2x+）≤1，
所以-1≤2sin（2x+）≤2，
所以a≤2sin（2x+）≤a+3，
∴f （x）_min+f （x）_max=a+a+3=3，
∴a=0．（12分）
分析：（1）先利用二倍角公式及和角正弦公式化簡函數(shù)f（x）為一個角一個函數(shù)的形式，令2kπ-≤2x+≤2kπ+，求出x的范圍寫出區(qū)間形式即得到f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)x∈[-，]求出整體角的范利用三角函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，根據(jù)題意列出方程進一步求出a的范圍．
點評：本題考查求三角函數(shù)的性質(zhì)問題應(yīng)該先根據(jù)三角函數(shù)的公式化簡三角函數(shù)為只含一個角一個函數(shù)名的形式，然后利用整體角處理，屬于中檔題．